library(tidyverse)
library(patchwork)
# Farben konsistent durch das gesamte Dokument
blau <- "#2C7BB6"
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grau <- "grey50"
# Datensatz laden
#| label: load-data
#| message: false
library(here)
data5_env <- new.env()
# 'here' findet immer den Weg vom R-Projekt-Wurzelordner aus
load(here("data", "zufallsdaten5A.RData"),envir = data5_env)
zufallsdaten5A<-data5_env$zufallsdatenGehen Sie von der gleichverteilten Zufallsvariablen \(X\) im Intervall \([-20, 10)\) aus.
Geben Sie die Rechenvorschrift an, mit welcher sich \(X\) standardisieren lässt.
Bestimmen Sie die Intervallgrenzen der standardisierten, stetigen Gleichverteilung \(Y\).
Für die stetig gleichverteilte Zufallsvariable \(X\) im Intervall \([a, b) = [-20, 10)\) gelten folgende Formeln für Erwartungswert und Varianz:
\[\mu = \text{E}(X) = \frac{a + b}{2} = \frac{-20 + 10}{2} = -5\]
\[\sigma^2 = \text{Var}(X) = \frac{(b - a)^2}{12} = \frac{(10 - (-20))^2}{12} = \frac{900}{12} = 75\]
Damit lautet die Rechenvorschrift zur Standardisierung von \(X\):
\[Y = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{X - (-5)}{\sqrt{75}} = \frac{X + 5}{5\sqrt{3}}\]
a <- -20
b <- 10
mu <- (a + b) / 2
sigma2 <- (b - a)^2 / 12
sigma <- sqrt(sigma2)
cat("Erwartungswert mu =", mu, "\n")Erwartungswert mu = -5 cat("Varianz sigma2 =", sigma2, "\n")Varianz sigma2 = 75 cat("Standardabw. sigma =", round(sigma, 4), "=", "5 * sqrt(3) =", 5 * sqrt(3) |> round(4), "\n")Standardabw. sigma = 8.6603 = 5 * sqrt(3) = 8.6605 Die Standardisierungsformel lautet also:
\[Y = \frac{X + 5}{5\sqrt{3}}\]
Methode 1: Transformation der Intervallgrenzen
Die Intervallgrenzen \(\tilde{a}\) und \(\tilde{b}\) der standardisierten Zufallsvariablen \(Y\) erhält man, indem man die Grenzen \(a = -20\) und \(b = 10\) von \(X\) mit der in 1a) ermittelten Rechenvorschrift transformiert:
\[\tilde{a} = \frac{a + 5}{5\sqrt{3}} = \frac{-20 + 5}{5\sqrt{3}} = \frac{-15}{5\sqrt{3}} = \frac{-3}{\sqrt{3}} = -\sqrt{3}\]
\[\tilde{b} = \frac{b + 5}{5\sqrt{3}} = \frac{10 + 5}{5\sqrt{3}} = \frac{15}{5\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}\]
Methode 2: Über die Varianz der standardisierten Verteilung
Da \(Y\) standardisiert ist, muss \(\text{Var}(Y) = 1\) gelten. Wegen der Symmetrie von \(Y\) um 0 gilt ausserdem \(\tilde{a} = -\tilde{b}\). Damit ergibt sich:
\[\text{Var}(Y) = \frac{(\tilde{b} - \tilde{a})^2}{12} = \frac{(2\tilde{b})^2}{12} = \frac{4\tilde{b}^2}{12} = 1 \quad \Rightarrow \quad \tilde{b}^2 = 3 \quad \Rightarrow \quad \tilde{b} = \pm\sqrt{3}\]
Da \(\tilde{a} < \tilde{b}\) gelten soll, erhält man: \(\tilde{a} = -\sqrt{3}\) und \(\tilde{b} = \sqrt{3}\).
# Methode 1: Transformation der Grenzen
a_tilde <- (a + 5) / (5 * sqrt(3))
b_tilde <- (b + 5) / (5 * sqrt(3))
cat("Methode 1 – Transformation der Grenzen:\n")Methode 1 – Transformation der Grenzen:cat(" a_tilde =", round(a_tilde, 6), "= -sqrt(3) =", -sqrt(3) |> round(6), "\n") a_tilde = -1.732051 = -sqrt(3) = -1.732051 cat(" b_tilde =", round(b_tilde, 6), "= sqrt(3) =", sqrt(3) |> round(6), "\n\n") b_tilde = 1.732051 = sqrt(3) = 1.732051 # Methode 2: Über Var(Y) = 1
b_tilde_m2 <- sqrt(3)
var_check <- (2 * b_tilde_m2)^2 / 12
cat("Methode 2 – Über Var(Y) = 1:\n")Methode 2 – Über Var(Y) = 1:cat(" b_tilde = sqrt(3) =", round(b_tilde_m2, 6), "\n") b_tilde = sqrt(3) = 1.732051 cat(" Probe: Var(Y) = (2*b_tilde)^2 / 12 =", var_check, "\n") Probe: Var(Y) = (2*b_tilde)^2 / 12 = 1 Die standardisierte Zufallsvariable \(Y\) ist gleichverteilt auf dem Intervall \([-\sqrt{3},\, \sqrt{3})\).
Der zentrale Grenzwertsatz liefert eine wichtige Grundlage für die Verfahren der schliessenden Statistik. Er sagt aus, dass die Verteilung des Mittelwerts von \(n\) unabhängigen und identisch verteilten Zufallsvariablen (egal welcher Ausgangsverteilung!) für wachsendes \(n\) gegen eine Normalverteilung konvergiert.
Diesen Zusammenhang werden Sie in dieser Aufgabe anhand der Datei zufallsdaten5A.RData grafisch illustrieren.
Die Datei enthält je 128 Variablen:
Jede Variable enthält dieselbe Anzahl Beobachtungen (Zeilen).
Erzeugen Sie insgesamt 4 Variablen unimean2, unimean8, unimean32 und unimean128, welche jeweils den zeilenweisen Mittelwert von 2, 8, 32 bzw. 128 der Variablen univar1 bis univar128 enthalten. Erstellen Sie dann Histogramme sowie QQ-Plots bezüglich der Standardnormalverteilung für univar1 und diese 4 Mittelwertsvariablen.
Was beobachten Sie bezüglich der Form und der Breite der Histogramme, und was zeigen die QQ-Plots? Wie interpretieren Sie Ihre Beobachtungen in Bezug auf den zentralen Grenzwertsatz?
Nach dem zentralen Grenzwertsatz (ZGS) gilt: Sind \(X_1, \ldots, X_n\) unabhängig und identisch verteilt mit \(\text{E}(X_i) = \mu\) und \(\text{Var}(X_i) = \sigma^2\), dann gilt für den Mittelwert \(\bar{X}_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\) für grosse \(n\) näherungsweise:
\[\bar{X}_n \;\dot{\sim}\; N\!\left(\mu,\, \frac{\sigma^2}{n}\right)\]
Für die stetige Gleichverteilung \(U(0, 1)\) gilt \(\mu = \frac{1}{2}\) und \(\sigma^2 = \frac{1}{12}\), also:
\[\bar{X}_n \;\dot{\sim}\; N\!\left(\frac{1}{2},\, \frac{1}{12n}\right)\]
Erwartete Beobachtungen:
# Mittelwertsvariablen erzeugen (zeilenweise)
unimean2 <- zufallsdaten5A |> select(univar1:univar2) |> rowMeans()
unimean8 <- zufallsdaten5A |> select(univar1:univar8) |> rowMeans()
unimean32 <- zufallsdaten5A |> select(univar1:univar32) |> rowMeans()
unimean128 <- zufallsdaten5A |> select(univar1:univar128) |> rowMeans()# [R-Output wird ergänzt]# [R-Output wird ergänzt]Ditto, diesmal aber für expvar1 bis expvar128 mit exponentialverteilten Zufallszahlen. Beachten Sie, dass die Exponentialverteilung im Gegensatz zur Gleichverteilung deutlich schief ist.
Für die Exponentialverteilung \(\text{Exp}(1)\) gilt \(\mu = 1\) und \(\sigma^2 = 1\), also:
\[\bar{X}_n \;\dot{\sim}\; N\!\left(1,\, \frac{1}{n}\right)\]
Erwartete Beobachtungen:
Fazit zum zentralen Grenzwertsatz:
Dies ist der Hauptgrund für die grosse Bedeutung der Normalverteilung in der Statistik: Die Verteilung des Mittelwerts von \(n\) Zufallsvariablen mit (fast) beliebiger, aber identischer Verteilung nähert sich für wachsendes \(n\) einer Normalverteilung an:
\[\frac{\bar{X}_n - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} \;\xrightarrow{d}\; N(0, 1) \quad \text{für } n \to \infty\]
# Mittelwertsvariablen für Exponentialverteilung erzeugen
expmean2 <- zufallsdaten5A |> select(expvar1:expvar2) |> rowMeans()
expmean8 <- zufallsdaten5A |> select(expvar1:expvar8) |> rowMeans()
expmean32 <- zufallsdaten5A |> select(expvar1:expvar32) |> rowMeans()
expmean128 <- zufallsdaten5A |> select(expvar1:expvar128) |> rowMeans()# [R-Output wird ergänzt]# [R-Output wird ergänzt]